(资料图片仅供参考)

1、证明如下：对任意X属于（0，1），任给正数w，考虑除X以外所有黎曼函数的函数值大于等于w的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式，且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的。

2、所以除X以外所有函数值大于等于w的点也是有限的。

3、设这些点，连同0、1，与X的最小距离为w ，则X 的半径为w的去心邻域中所有点函数值均在（0，w）中，从而黎曼函数在时的极限为0。

4、扩展资料解析延拓之后的ζ函数具有零点，他们分别是分布有序的平凡零点（所有负偶数），以及临界带内的非平凡零点。

5、以表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式：[3]。

6、参考资料来源：百度百科-黎曼函数规定x=0可写成0/1，因为x=1可写成1/1，x=2可写成2/1，....，x=k可写成k/1，此时R(x)=1，即x=0，1，2，...k，周期为1，所以黎曼函数又可写成：证明：∀x0∈(-∞，+∞)，lim(x→x0)R(x)=0，即R(x)在一切无理点连续，在有理点不连续.证：由R(x)周期性，只考虑[0,1]中的点，即证x0∈[0,1]，lim(x→x0)R(x)=0.在[0,1]中，分母为1的数：0/1，1/1分母为2的数：1/2分母为3的数：1/3，2/3…分母为k的数：至多k个，k是正整数对任意正整数k，[0,1]上分母≤k的有理数有限个由函数极限定义：∀ε＞0，找δ＞0，记k=[1/ε]，在[0,1]中分母≤k的有理数记为r1，r2，…，rn令δ=min{|ri-x0|} (1≤i≤n，ri≠x0)∀x∈[0,1](0＜|x-x0|＜δ)：(i)x无理数，R(x)=0(ii)x有理数，分母＞k(前面规定k有限，这里分母＞k理所当然)k=[1/ε]，x的分母≥[1/ε]+1，则R(x)≤1/([1/ε]+1)＜1/1/ε=ε合起来就有|R(x)-0|＜ε∴lim(x→x0)R(x)=0.结论：黎曼函数在无理数连续，在很小一部分有理数不连续.∀ε＞0，在[0,1]上R(x)≥ε的点至多有限个.该题是让我们证明黎曼函数在[0,1]上的任一点上的极限是0，而根据该函数的性质，在无理点处的函数值为0，在有理点处的值为1/p，若能证出任一点的极限都是0，那么我们就自然地能说明黎曼函数在有理点处是不连续的，因为极限值0不等于函数值1/p，在无理点处是连续的。

7、因为第一步必须要证明任一点的极限值为0，像黎曼这样的函数没法直接用lim这样算，因为根据实数的稠密性，无理数和有理数是交错在一起的，因此只能用ε-N语言来证明，那一定是要证｜R(x)-0｜<ε成立才行，所以｜R(x)-0｜<ε就是要证明[0,1]上的任一点x的极限均为0，从而进一步说明有理点处不连续，无理点处连续～。

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